位势方程的最大模估计

位势方程的 Dirichlet 问题

{\laplaceu=f,xΩ,u|Ω=φ

有最大模估计:

定理:Dirichlet 边值问题的最大模估计

u 是 Dirichlet 问题的解,则

maxΩ|u(x)|G+CF

这里 C=C(n,\diamΩ) 为常数,G=maxΩ|φ|F=supΩ|f|

证明

不妨假设 Ω 包含原点.令 w=uz,其中

z=G+F2n(d2|x|2)

\laplaceω=f(x)F0, Ωω|ΩgG0.

由极值原理,Ωw0. 从而

uzG+d22nF.

同理对 u

uzGd22nF

从而

|u|zG+d22nF.

两边取上确界,定理即得证.